Родственны ли слова граф и графин?
Нет, сходство между ними случайно. Граф — германское слово: древнеангл. ġerēfa, groefa (от него среднеангл. reve и англ. reeve, о которых подробнее рассказано в вопросе 89 про слово шериф) древнефризское greva, сев. фризское greve, затерландско-фризское greve, зап. фризское greafa, древнесаксонское grāvio, ср.-ниж.-нем. grēve, grāve, др.-сканд. greifi, grefi, исландское greifi, фарерское greivi, датское greve, шведское greve, норвежское greve, др.-нидерл. grāvo, нидерландское graaf, др.-верх.-нем. grāfio, grāfo, grāvo, grāvio, grāphio, krāvio, ср.-верх.-нем. Grâve, нем. Graf. Прагермансккая форма реконструируется в виде *garāfijō, исходным значением, видимо, было 'наместник при короле'.
Самые старые свидетельства слова в русском языке: гравъ (1609), король и гравы (1567) — последние два примера описывают шведские реалии и, видимо, передают шведское greve и/или нижненемецкое grave. В начале XVIII века в России появились первые графы – дипломаты Федор Головин, Александр Меншиков, Гаврила Головкин, Андрей Матвеев, получившие этот титул от императора Священной римской империи Иосифа I. Источником слова послужил уже немецкий язык. В 1706 году Петр I учредил российский титул и сам стал возводить в графское достоинство своих приближенных (Головкин умудрился стать двукратным графом).
На латынь германские слова обычно переводились словом comes (родительный comitis) буквально 'спутник, сотоварищ', отсюда значения 'благородный воин, сражающийся плечом к плечу с королем', 'заместитель правителя, наместник', от латинского аналога происходят французское comte. английское count, итальянское conte 'граф'.
Происхождение германской лексемы неясно. Иногда ее считают производной от глагола *grēfan 'повелевать, командовать'. Иногда предполагают, что это раннее заимствование греческого γραφεύς 'писец'. При этом средневековые латинские варианты graphio, grafio, gravio, -gravius иногда считают промежуточным этапом при заимствовании из греческого в прагерманский, а иногда — результатом заимствования из германских языков.
Названия графина в языках Европы (франц. carafe, немецкое Karaffe, греч. καράφα и многие другие) происходят из арабского языка и в конечном итоге возводятся к глаголу ḡarafa 'черпать'. Причем арабские слова проникли, по-видимому, через посредство двух языков: испанского (garrafa) и итальянского (caraffa, уменьшительное caraffina). В русском языке XVIII века слово могло иметь разный облик: графин (1758), карафин (1713), крафин (1795), караф (1765), гарафа (1705).