Речь пойдет о термине фокус в математике и оптике. Понятие фокуса в геометрии было известно уже в античности, но термина фокус еще не было. Считается, что первым сформулировал это понятие математик III – II века до н. э. Аполлоний Пергский в трактате «О конических сечениях». Там он называет точки фокусов эллипса и гиперболы «точками выхода приложений» (τὰ ἐκ τῆς παραβολῆς γενηθέντα σημεῖα).
Латинское слово focus означает очаг, место в доме, где горит огонь. Научным термином его сделал Иоганн Кеплер в работе 1604 года «Дополнения к Вителлию, или Оптическая часть астрономии». Предполагается, что источником вдохновения для Кеплера был труд арабского ученогоАльхазена (Ибн аль-Хайсама, 965—1039) «Оптика», который был известен Кеплеру в латинском переводе. Параболу аль-Хайсам называл «зажигательным зеркалом», а точку ее фокуса — «местом зажигания», ведь при помощи параболического отражателя действительно можно поджечь что-нибудь, концентрируя солнечные лучи в точке фокуса.
В языках, где не используется латинизм focus, этот термин часто образуется от слов со значениями «огонь» или «очаг»: чешское ohnisko, польское ognisko, финское polttopiste (poltto «горение»), немецкое Brennpunkt, норвежское brennpunkt, шведское brännpunkt 'точка горения', новогреческое εστία 'очаг', персидское kânun 'очаг', китайское jiāodiǎn (焦點) 'точка горения', турецкое odak (od '(устар.) огонь').
Про фокус, который показывают иллюзионисты, я всячески рекомендую очерк Ирины Алексеевны Корнилаевой в книге «Из истории русских слов. Словарь-пособие» (1993, 2020) или ее же статью в сборнике «Новое в русской этимологии I» (2003). Кратко перескажу, что фокус — это усечение из фокус-покус, которое в XVIII веке выглядело как гокус-покус. Оно в свою очередь происходит из немецкого Hocus Pocus 'фокус, трюк'. Предполагается, что немецкое выражение возникло из псевдолатинских фраз, звучавших на представлениях средневековых странствующих комедиантов и фокусников Hax pax max Deus adimax или Hocus pocus dominocus hic est corpus Domini, которые пародировали фразу из католической литургии Hoc est corpus meum 'Сие есть тело Мое'. В начале XVII века в Англии даже существовал фокусник взявший псевдоним Hocus Pocus, в качестве «заклинания» он использовал вариант Hocus pocus, tontus talontus, vade celeriter jubeo.