Откуда взялось украинское слово верстат 'станок' и связано ли оно как-то с русским верстак?
Да, у этих слов общее происхождение. Слово верстат ближе к облику первоисточника, а слово верстак изменилось в большей степени. Исходное слово в данном случае — немецкое Werkstatt 'мастерская, заводской цех', буквально 'место для работы': Werk 'работа' + Statt 'место'. С XV века это слово проникает в польский язык, сейчас оно имеет вид warsztat, но отмечены также устаревшие и/или диалектные варианты: warstat, warsztat, warztat и werkstat. Польское слово встречается в значениях 'ремесленная мастерская', 'место работы ремесленника', 'стол, специально приспособленный для различных работ'. Через польский это слово пришло в восточнославянские языки. Зафиксирован старорусский вариант верстать 'верстак' (1686 год). В литературном украинском слово верстат используется в значении 'станок' (друкарський верстат, фрезерний верстат, ткацький верстат) и изредка в значении 'верстак' (В робітні були три [столярні] верстати: працювали звичайно, крім майстра, два челядники [Іван Франко]). А слово верстак в украинском напротив чаще означает 'верстак' и реже встречается в значении 'станок'. В белорусском варштат 'верстак' (словари начала XX века дают также варианты вярстат и варстат), употребление слова варштат в значении 'станок' сейчас расценивается как устаревшее. Ну а в русском закрепился вариант верстак. Изменение верстат > верстак объясняют обычно влиянием слов с суффиксом -ак. Верстак также ассоциировался с исконно славянским словом верстать в значении 'выравнивать'. Таким образом он попал в довольно большую группу слов немецкого происхождения, которые в русском языке были переосмыслены и изменили свое звучание. В эту группу входят также, например, противень (Bratpfanne ‘сковорода для жарки’), филёнка (Füllung ‘наполнение’), рубанок (не от рубить, а от Raubank), роздых (Rasttag ‘день отдыха’), шумовка (Schaumlöffel ‘ложка для пены’).