Связан ли глагол вербовать с латинским корнем verbum 'слово'?
Нет, этот глагол германского происхождения. В русский язык он пришел через посредство польского werbować из немецкого werben.
Значение werben шире, чем у русского вербовать, немецкий глагол, помимо 'вербовать, привлекать к какому-либо делу, набирать на армейскую или иную службу', также значит 'рекламировать, агитировать' (Werbekampagne 'рекламная кампания') и даже 'ухаживать за женщиной, добиваться ее руки' (Liebeswerben 'ухаживание').
Если же мы углубимся в историю, то обнаружим, что в древневерхненемецком werban значило 'поворачивать' (как в непереходном «поворачивать куда-то», так и в переходном «поворачивать что-то» смысле). Как кажется, это древнее значение в современном немецком не сохранилось, а нынешние возникли как метафорические: агитировать, вербовать, ухаживать за дамой — то есть делать так, чтобы человек повернулся к вам, встал на вашу сторону, склонился к желаемому варианту.
Древнее значение глагола сохранилось в исландском языке (hverfa 'поворачивать(ся)'). Интересно, что исландский глагол имеет также значение 'исчезать'. Видимо, оно возникло из ситуаций, когда наблюдаемый движущийся объект поворачивает и скрывается из виду (báturinn hvarf fyrir nesið 'лодка скрылась за мысом'). Значение 'исчезать' есть у родственного глагола (hvørva) и в фарерском языке. Причем тут я в словаре не обнаружил первичного значения 'поворачивать'.