Связаны ли французское слово bateau 'корабль, лодка' и батискаф?
Нет, хотя батискаф тоже происходит из французского языка. Название bathyscaphe придумал для созданного им аппарата знаменитый швейцарский изобретатель Огюст Пикар (1884—1962). Для этого он соединил два греческих слова: βαθύς [bathús] 'глубокий' и σκάφη [skáphē] изначально 'корыто', затем 'лодка, челнок' (у древних греков была пословица τὰ σῦκα σῦκα, τὴν σκάφην σκάφην λέγειν 'называть инжир инжиром, а корыто корытом', то есть называть вещи своими именами). Думаю, про значение 'корыто' Пикар мог и не знать. Из французского название подводного аппарата проникло во многие другие языки.
Слово bateau старофранцузском языке выглядело как batel и приобрело современный вид в результате фонетических трансформаций. Такую же судьбу претерпели, например, chevrel 'козленок' — ныне chevreau, tonel 'бочка' — ныне tonneau, russel 'рыжеволосый человек' — ныне rousseau (заметим, что французская фамилия Rousseau и английская Russel родственны).
А откуда старофранцузское batel? Оно происходит от древнеанглийского bat 'лодка', того самого, которое в современном английском превратилось в boat. Французы лишь прибавили к нему свой уменьшительный суффикс. После нормандского завоевания Англии в английский язык проникло немало старофранцезских слов, batel – это пример менее распространенных, но все-таки существующих заимствований в обратном направлении. В старофранцузском batel впервые отмечно в 1138 году спустя менее ста лет после битвы при Гастингсе. Еще раньше (1121 или 1122) оно отмечено в памятниках так называемого англо-нормандского языка — фактически старофранцузского диалекта, который использовали обосновавшиеся в Англии соратники Вильгельма Завоевателя.